Core · 거리
피타고라스에서 나온 거리
$\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
가로 차이 $x_2-x_1$, 세로 차이 $y_2-y_1$ 를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 곧 거리다.
Core · 내분점
비로 나누는 점
$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 를 $m:n$ 으로 내분하는 점 $P=\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$
특히 $m=n$ 이면 중점 $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. 내분은 수직선 위에서 먼저 이해한 뒤 좌표평면으로 확장한다.
2022 개정에서는 내분만 다룬다(외분 제외).
Interactive · 실험실
내분점 실험실
점 $B$ 를 옮기고 비 $m:n$ 을 끌어 보세요. 내분점 $P$ 가 선분 $AB$ 위를 미끄러지고, 거리와 좌표가 즉시 갱신됩니다.
A(−3, −2) 와 B 를 m : n 으로 내분
Examples · 예제
예제
예제 1 · 거리
$A(1,2), B(4,6)$ 사이의 거리를 구하여라.
- $\overline{AB}=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
예제 2 · 내분점
$A(1,2), B(7,8)$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 구하여라.
- $P=\left(\dfrac{2\cdot7+1\cdot1}{3},\dfrac{2\cdot8+1\cdot2}{3}\right)=\left(5,6\right)$
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $A(1,2), B(4,6)$ 사이의 거리는?
Q2. $A(2,3), B(6,7)$ 의 중점의 좌표는? (예: (4,5))
Q3. $A(1,2), B(7,8)$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점의 $x$좌표는?
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$A(0,0), B(5,12)$ 사이의 거리를 구하여라.
02★
$A(-2,-3), B(4,5)$ 의 중점의 좌표를 구하여라.
03★★
$A(1,2), B(5,6)$ 을 $1:1$ 로 내분하는 점(중점)의 좌표를 구하여라.
04★★
$A(-6,0), B(2,6)$ 사이의 거리를 구하여라.
무한 연습 — 두 점 사이의 거리
두 점 사이의 거리를 구하세요. (정수가 되도록 출제)
좌표가 거리를 말한다
거리는 좌표 차의 제곱합의 제곱근.
내분점은 좌표의 가중평균, 중점은 그 절반.
"Coordinates turn geometry into arithmetic."